Dado un array A[N] de N números. Tienes que generar un array Ouput[N] de manera que Output[i] sea la multiplicación de todos los elementos de A[N] excepto A[i]. Por ejemplo Output[0] será la multiplicación desde A[1] hasta A[N-1] y Output[1] sera la multiplicación de A[0] y desde A[2] hasta A[N-1]…

En ruby es tan sencillo como:

n = A.length
Ouput = Array.new(n) do |i|
  result = 1
  n.times { |j| result *= A[j] unless j == i }
  result
end

El problema es que la pregunta continuaba con:

… hazlo en O(n) …

Ups, hay que repensarlo ya que el algoritmo anterior tiene dos bucles sobre N anidados por lo que es O(n²). Se me ocurrió hacerlo precalculando el producto de todos los elementos de A[N] y hacer que Output[i] = Total / A[i]. Así queda O(n).

product = A.inject(1) { |total, n| total * n }
Output = A.collect { |n| product / n }

Pero faltaba un último detalle de la pregunta:

… sin el operador de división.

Uff, ahora se pone interesante. Tras pensarlo un poco y escribir Ouput como una matriz de los elementos a multiplicar, ví un patrón que me podía servir. La matriz está formada por dos “triángulos” (perdón si el termino no es correcto. Hay algún matemático entre la audiencia?) que llamaremos L, resaltado en azul, y R, en rojo.

Output[0]   = [   1, A[1], A[2], ..., A[N-1]]
Output[1]   = [A[0],    1, A[2], ..., A[N-1]]
Output[2]   = [A[0], A[1],    1, ..., A[N-1]]
...
Output[N-1] = [A[0], A[1], A[2], ...,      1]

Se me ocurrió que esos dos “triángulos” o productos parciales se podían calcular a la vez en un único bucle para usarlos posteriormente para calcular Ouput[i] = L[i] * R[i] ya que:

• L[i] = L[i-1] * A[i-1] para i > 0 (L[0] = 1)
• R[i] = R[i+1] * A[i+1] para i < N-1 (R[N-1] = 1)

n = A.length
left,right = Array.new(n, 1), Array.new(n, 1)
1.upto(n-1) do |i|
  left[i]        =  left[i-1] * A[i-1]
  right[n-(i+1)] = right[n-i] * A[n-i]
end
Output = Array.new(n) { |i| left[i] * right[i] }

Bien, creo que al final lo hemos conseguido. Un algoritmo O(n) que no usa la división y que calcula los resultados según la formula indicada. Además, el algoritmo que usa la división tiene un problema: necesita que los elementos de A[N] sean números naturales (es decir, que no puedan ser 0) mientras que los otros dos algoritmos no tienen esta restricción.

Si os estáis preguntando si realmente hay diferencia de rendimiento entre los tres algoritmos (principalmente el primero versus los otros dos), aquí tenéis un gráfico que lo demuestra.

Como se puede ver, a medida que el tamaño del array A[N] crece los tiempos del primer algoritmo (double loop) crecen exponencialmente mientras que los otros dos (division y triangles) tienen un comportamiento lineal. Por tanto, si que hay diferencia, y mucha.

Los datos de benchmarking para generar el gráfico con el OpenOffice.org Calc los he obtenido he usado el siguiente script que genera CSV.

#! /usr/bin/env ruby
require 'benchmark'
 
def double_loop(input)
  n = input.length
  Array.new(n) do |i|
    result = 1
    n.times { |j| result *= input[j] unless j == i }
    result
  end
end
 
def division(input)
  product = input.inject(1) { |total, n| total * n }
  input.collect { |n| product / n }
end
 
def triangles(input)
  n = input.length
  left,right = Array.new(n, 1), Array.new(n, 1)
  1.upto(n-1) do |i|
     left[i]       =  left[i-1] * input[i-1]
    right[n-(i+1)] = right[n-i] * input[n-i]
  end
  Array.new(n) { |i| left[i] * right[i] }
end
 
t = 1_000
max_size  = 250
step_size = 10
 
step_size.step(max_size, step_size) do |n|
  input = Array.new(n) { rand(100) + 1 }
  t1 = Benchmark.realtime { t.times { double_loop(input) } }
  t2 = Benchmark.realtime { t.times { division(input) } }
  t3 = Benchmark.realtime { t.times { triangles(input) } }
  puts "#{input.length};#{t1};#{t2};#{t3}"
end

Por cierto, si a alguién se le ocurre otro algoritmo que lo ponga en los comentarios.

De todas las reglas, las más sencillas de corregir son:

• Add Expires headers
• Compress components with gzip
• Configure entity tags (ETags)

Otras reglas pueden suponer reescribir parte de la aplicación pero para solventar estas tres basta con añadir algunas líneas al final del .htaccess del directorio raíz de nuestra web. Hay que tener en cuenta que los modulos necesarios deben estar instalados y la configuración del servidor nos debe permitir establecer esta configuración (directiva AllowOverride)

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# Add Expires Header
<IfModule mod_expires.c>
ExpiresActive on
ExpiresByType image/gif "access plus 1 week"
ExpiresByType image/jpeg "access plus 1 week"
ExpiresByType image/png "access plus 1 week"
ExpiresByType text/css "access plus 1 week"
ExpiresByType application/javascript "access plus 1 week"
</IfModule>
 
# Compress CSS files
<IfModule mod_deflate.c>
AddOutputFilterByType DEFLATE text/plain text/html text/xml application/rss+xml application/atom_xml
AddOutputFilterByType DEFLATE text/css application/javascript
</IfModule>
 
# ETag only use file time and size, but no inode
FileETag MTime Size

En las líneas 2 a 9 configuramos que las imágenes, hojas de estilo y javascripts tengan una fecha de expiración de una semana a partir del momento en que se ha visitado la página web. Esto significa que el navegador del usuario usará la copia local (fichero cacheado) durante una semana. Este comportamiento puede suponer un problema si tenemos ficheros de estos tipos que vamos modificando sin cambiarle el nombre (p.e. un banner) ya que los navegadores de algunos de los usuarios mantendran las versiones antiguas.

Desde la 12 a la 15 configuramos la compresión de las páginas HTML, feeds (text/xml, application/rss+xml y application/atom_xml), hojas de estilo y javascripts. De esta forma conseguimos ahorrar tráfico (importante si estamos en un hosting con limitaciones de tráfico)  y que el tiempo de transmisión sea menor.

Finalmente, en la última línea configuramos los ETags generados por el propio servidor Apache para los ficheros estáticos. Por defecto, Apache tiene en cuenta tres aspector para generar el ETag: el inodo, fecha de modificación y tamaño. Pero se recomienda no usar el inodo para generarlo ya que si nuestra web empieza a ser conocida y tenemos que distribuir la carga entre varios servidores, es muy poco probable que un fichero tenga el mismo inodo en todos los servidores de la granja. Entonces, el ETag variaría en funcion del servidor que lo generara por lo que no se sacaría provecho a esta cabecera. Para resolverlo, configuramos el Apache para que genere el ETag sólo considerando la fecha de modificación y el tamaño del fichero.

Con esta simple configuración yo conseguí pasar de una puntuación de 74 a 89.

A medida que pueda escribiré algún post más sobre optimización web y como resolverlo en el caso concreto de un blog que usa WordPress.